Teaching and learning of local approximations of functions at the start of the higher education course - The case of preparatory classes for engineering studies
Enseignement et apprentissage des approximations locales des fonctions au début du cursus dans le Supérieur - Cas des classes préparatoires aux études d'ingénieurs
Résumé
At the beginning of the preparatory classes for engineering studies, the concepts of the comparison relation of functions, the Taylor-Young formula and limited developments have as a fundamental characteristic that of solving problems of local approximations of functions and of physical, mechanical, optical modelling, etc. A review of works related to the didactical field of Analysis led us to the hypothesis that the identification and the characterization of the obstacles related to the appropriation and the reasoned use of the notions of local approximation of a function, contribute significantly to the study of the nature and the origin of the difficulties encountered by the students concerning the conceptualization of these objects in the first year of the Physics-Chemistry section (PC). These obstacles result a priori in large part from the absence of mathematical situations devolved to the students requiring the use of graphical representations. In order to overcome these epistemological, didactical and cultural obstacles and to allow the students to give meaning to the concept of local approximation of a function, we have elaborated and implemented, in collaboration with the teacher of the first year class (PC), a didactical engineering of development by the integration of two situations with an adidactical dimension in the teaching of the chapter "Asymptotic analysis". This engineering, built within the framework of the theory of didactical situations, aims at introducing this concept by the articulation of the semantic and syntactic dimensions and the mobilization of its various representations by using a dynamic software of geometry Geogebra for graphic constructions. The didactical analysis of the reasoning, which underlie the resolution procedures of the students, informs us very precisely on the knowledge and the knowledges mobilized by confrontation with the various situations, on the nature and the type of reasonings as well as on the semantic and/or syntactic dimensions inherent to its various stages. In our work, the experimentation combining the visualization of "dynamic" graphical representations and the mathematical reasoning, produced by the students by mobilizing their previous knowledge on the study of a function, contributed to an analytical approach allowing the introduction of the formal definition of the limited development with all the complexity of the work in the paradigm [Infinitesimal Analysis] which couples topology and Functional Analysis. Engineering also allowed, within the groups and in the whole class, to generate discussions, to bring exchanges and to make the students perceive the richness of the articulation of the various representations of the concept of local approximation of a function to pose reasoning articulating the semantic and syntactic dimensions. Thus, instead of focusing initially on the formal process of conceptualizing the limited development of order n of a function in the neighborhood of a real, it becomes possible to precisely target the graphical representations of a function and its successive polynomial approximations (of order 1, 2, 3 and 4) as an object to visualize the improvement of the polynomial approximation when the order increases; thus the approximation error decreases and it will be "better" in the neighborhood of this real. The engineering allowed the adaptation of the situations produced to the ordinary conditions of teaching and to the needs of the teachers. This study will thus be able to play a role in the training of teachers from the point of view of the construction of knowledge, the importance of didactical contract and the opening on their training by the use of the graphic framework by a work in the environment of technology at the time of the teaching of the new concepts at the Higher level.
Au début du cycle des classes préparatoires aux études d'ingénieurs, les concepts de la relation de comparaison des fonctions, la formule de Taylor-Young et développements limités ont pour caractéristique fondamentale celle de résoudre des problèmes d'approximations locales des fonctions et de modélisations physique, mécanique, optique, etc. Une revue de lecture des travaux liés au domaine de didactique de l'Analyse nous a conduit à émettre l'hypothèse que l'identification et la caractérisation des obstacles liés à l'appropriation et à l'usage raisonné des notions d'approximation locale d'une fonction, contribuent significativement à étudier la nature et l'origine des difficultés rencontrées par les étudiants concernant la conceptualisation de ces objets en première année de section Physique-Chimie (PC). Ces obstacles résultent a priori en grande partie de l'absence des situations mathématiques dévolues aux étudiants nécessitant l'utilisation des représentations graphiques. Afin de surmonter ces obstacles de natures épistémologique, didactique et culturelle et de permettre aux étudiants de donner du sens au concept d'approximation locale d'une fonction, nous avons élaboré et mis en œuvre, en collaboration avec l'enseignante de la classe de première année (PC), une ingénierie didactique de développement par l'intégration de deux situations à dimension adidactique dans l'enseignement du chapitre « Analyse asymptotique ». Cette ingénierie, construite dans le cadre de la théorie des situations didactiques, vise à introduire ce concept par l'articulation des dimensions sémantique et syntaxique et la mobilisation de ses différentes représentations en utilisant un logiciel dynamique de géométrie Geogebra pour des constructions graphiques. L'analyse didactique des raisonnements, qui sous-tendent les procédures de résolution des étudiants, nous renseigne très précisément sur les connaissances et les savoirs mobilisés par confrontation aux différentes situations, sur la nature et le type de raisonnements ainsi que sur les dimensions sémantique et/ou syntaxique inhérentes à ses différentes étapes. Dans notre travail, l'expérimentation combinant la visualisation des représentations graphiques « dynamiques » et les raisonnements mathématiques, produits par les étudiants par la mobilisation de leurs connaissances antérieures sur l'étude d'une fonction, ont contribué à une approche analytique permettant l'introduction de la définition formelle du développement limité avec toute la complexité du travail dans le paradigme [Analyse Infinitésimale] qui couple la topologie et l'Analyse fonctionnelle. L'ingénierie a également permis, au sein des groupes et en classe entière, de générer des discussions, d'amener des échanges et de faire percevoir aux étudiants la richesse de l'articulation des différentes représentations du concept d'approximation locale d'une fonction pour poser des raisonnements articulant les dimensions sémantique et syntaxique. De ce fait, au lieu de se concentrer initialement sur le processus formel de la conceptualisation du développement limité d'ordre n d'une fonction au voisinage d'un réel, il devient possible de cibler précisément les représentations graphiques d'une fonction et de ses approximations polynômiales successives (d'ordre 1, 2, 3 et 4) en tant qu'objet pour visualiser l'amélioration de l'approximation polynômiale lorsque l'ordre augmente ; ainsi l'erreur d'approximation diminue et elle sera « meilleure » au voisinage de ce réel. L'ingénierie a permis l'adaptation des situations produites aux conditions ordinaires d'enseignement et aux besoins des enseignants. Cette étude pourra ainsi jouer un rôle dans la formation des enseignants du point de vue de la construction des connaissances, de l'importance de contrat didactique et de l'ouverture sur leur formation par l'usage du cadre graphique par un travail dans l'environnement de la technologie lors de l'enseignement des nouvelles notions au niveau Supérieur.
Origine : Version validée par le jury (STAR)