High-order embedding formalism, Noether’s theorem on time scales and Eringen's nonlocal elastica - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2022

High-order embedding formalism, Noether’s theorem on time scales and Eringen's nonlocal elastica

Formalisme de prolongement d’ordre élevé, théorème de Noether sur des échelle de temps et élasticité nonlocale d’Eringen.

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Abstract

The aim of this thesis is to deal with the connection between continuous and discrete versions of a given object. This connection can be studied in two different directions: one going from a continuous setting to a discrete analogue, and in a symmetric way, from a discrete setting to a continuous one. The first procedure is typically used in numerical analysis in order to construct numerical integrators and the second one is typical of continuous modeling for the study of micro-structured materials. In this manuscript, we focus our attention on three distinct problems. In the first part, we propose a general framework precising different ways to derive a discrete version of a differential equation called discrete embedding formalism. More precisely, we exhibit three main discrete associate: the differential, integral or variational structure in both classical and high-order approximations. The second part focuses on the preservation of symmetries for discrete versions of Lagrangian and Hamiltonian systems, i.e., the discrete analogue of Noether’s theorem. Finally, the third part applies these results in mechanics, i.e., the problem studied by N. Challamel, Kocsis and Wang called Eringen’s nonlocal elastica equation which can be obtained by the continualization method. Precisely, we construct a discrete version of Eringen’s nonlocal elastica then we study the difference with Challamel’s proposal.
Le but de cette thèse est de traiter la connexion entre les versions continues et discrètes d’une équation différentielle dans deux directions. Cette connexion peut être étudiée dans deux directions différentes : l’une allant d’un cadre continu à un analogue discret, et symétriquement, d’un cadre discret à un continu. La première procédure est généralement utilisée en analyse numérique pour construire des intégrateurs numériques et la deuxième est typique de la modélisation continue pour l’étude des matériaux micro-structurés. Dans ce manuscrit, nous concentrons notre attention sur trois problèmes distincts. Dans la première partie, nous proposons un cadre général précisant différentes manières pour dériver une version discrète d’une équation différentielle appelée formalisme de plongement discrets. Plus précisément, nous exhibons trois principaux discrets associés: la structure différentielle, intégrale ou variationnelle dans les approximations classiques et d’ordre élevé. La deuxième partie se concentre sur la préservation des symétries pour des systèmes lagrangiens et hamiltoniens discrètes, c’est-à-dire, l’analogue discret du théorème de Noether. La troisième partie, finalement, applique ces résultats en mécanique, c’est-à-dire, le problème étudié par N. Challamel, Kocsis et Wang appelé l’équation élasticité non locale d’Eringen qui peut être obtenu par la méthode de continualization. Précisément, nous construisons une version discrète de l’élasticité non locale d’Eringen puis nous étudions la différence avec le schéma proposé par Challamel.
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Dates and versions

tel-03776279 , version 1 (07-12-2022)

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  • HAL Id : tel-03776279 , version 1

Cite

Khaled Hariz-Belgacem. High-order embedding formalism, Noether’s theorem on time scales and Eringen's nonlocal elastica. Mathematical Physics [math-ph]. Université de Pau et des Pays de l'Adour (UPPA); École Normale Supérieure de Kouba (Algérie), 2022. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03776279⟩
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