Contribution to the Analysis of some Obstacle Problems for a Class of Quasilinear Scalar Conservation Laws
Contribution à l'analyse de problèmes d'obstacle pour une classe de lois de conservation scalaires quasi linéaires
Résumé
Ce travail regroupe un ensemble de résultats concernant essentiellement l'analyse mathématique de problèmes d'obstacles intérieurs pour une classe d'opérateurs quasi linéaires hyperboliques du premier ordre ou paraboliques du second ordre.
Dans un premier chapitre on s'intéresse aux problèmes d'obstacles pour des opérateurs du premier ordre. On donne un résultat général d'unicité et des résultats d'existence (par pénalisation) dans le cas d'obstacle constants ou dépendant des variables de temps et d'espace et selon la régularité des données. Puis on établit des propriétés de sensibilité et de comportement par rapport à la condition d'obstacle. Enfin on propose une approximation numérique de la solution par une méthode de Time-Splitting.
Au second chapitre au considère les problèmes d'obstacles pour des opérateur du second ordre faiblement ou fortement dégénérés. Dans le premier cas, par utilisation de la méthode de viscosité artificielle et celle de pénalisation on prouve l'existence puis l'unicité d'une solution faible caractérisée par une inéquation variationnelle. Dans le second cas, la solution faible est caractérisée par une formulation d'entropique.
Dans le troisième chapitre on expose de nouvelles thématiques de recherche, principalement le problème du couplage hyperbolique/parabolique avec « raccord » le long d'une interface commune. On donne une formulation faible à l'aide d'une inégalité d'entropie dans tout le domaine d'étude. On établit un résultat d'unicité dans le cas où l'interface est incluse dans le lieu des caractéristiques sortantes pour l'opérateur hyperbolique. L'existence est obtenue par ajout d'un terme de viscosité sur la zone d'hyperbolicité.
Dans un premier chapitre on s'intéresse aux problèmes d'obstacles pour des opérateurs du premier ordre. On donne un résultat général d'unicité et des résultats d'existence (par pénalisation) dans le cas d'obstacle constants ou dépendant des variables de temps et d'espace et selon la régularité des données. Puis on établit des propriétés de sensibilité et de comportement par rapport à la condition d'obstacle. Enfin on propose une approximation numérique de la solution par une méthode de Time-Splitting.
Au second chapitre au considère les problèmes d'obstacles pour des opérateur du second ordre faiblement ou fortement dégénérés. Dans le premier cas, par utilisation de la méthode de viscosité artificielle et celle de pénalisation on prouve l'existence puis l'unicité d'une solution faible caractérisée par une inéquation variationnelle. Dans le second cas, la solution faible est caractérisée par une formulation d'entropique.
Dans le troisième chapitre on expose de nouvelles thématiques de recherche, principalement le problème du couplage hyperbolique/parabolique avec « raccord » le long d'une interface commune. On donne une formulation faible à l'aide d'une inégalité d'entropie dans tout le domaine d'étude. On établit un résultat d'unicité dans le cas où l'interface est incluse dans le lieu des caractéristiques sortantes pour l'opérateur hyperbolique. L'existence est obtenue par ajout d'un terme de viscosité sur la zone d'hyperbolicité.
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