On the equality of periods of Kontsevich-Zagier

Jacky Cresson (1) , Juan Viu-Sos (2)

1 LMAP - Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau]
2 IMPA - Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada

Effective periods are defined by Kontsevich and Zagier as complex numbers whose real and imaginary parts are values of absolutely convergent integrals of Q-rational functions over Q-semi-algebraic domains in R^d. The Kontsevich-Zagier period conjecture affirms that any two different integral expressions of a given period are related by a finite sequence of transformations only using three rules respecting the rationality of the functions and domains: additions of integrals by integrands or domains, change of variables and Stokes formula. In this paper, we discuss about possible geometric interpretations of this conjecture, viewed as a generalization of the Hilbert's third problem for compact semi-algebraic sets as well as for rational polyhedron equipped with piece-wise algebraic forms. Based on partial known results for analogous Hilbert's third problems, we study obstructions of possible geometric schemas to prove this conjecture.

Les périodes effectives furent définies par Kontsevich et Zagier commeétant les nombres complexes dont les parties réelle et imaginaire sont valeurs d'intégrales absolument convergentes de fonctions Q-rationnelles sur des domaines Q-semi-algébriques dans R^d. La conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier affirme que si une période admet deux représentations intégrales, alors elles sont reliées par une suite finie d'opérations en utili-sant uniquement trois règles respectant la rationalité des fonctions et domaines : sommes d'intégrales par intégrandes ou domaines, changement de variables et formule de Stokes. Dans cet article, nous discutons des possibles interprétations géométriques de cette conjecture, vue comme une généralisation du troisième problème de Hilbert pour des ensembles semi-algébriques compacts et aussi comme pour des polyèdres rationnels munis d'une forme volume algébrique par morceaux. Basés sur des résultats partiels connus pour des problème de Hilbert analogues, nousétudions des obstructions de possibles schémas géométriques pour obtenir une preuve de la conjecture.

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Jacky Cresson, Juan Viu-Sos. On the equality of periods of Kontsevich-Zagier. 2019. ⟨hal-02392359v1⟩