Nombre maximal d'hyperplans instables pour un fibré de Steiner

Jean Vallès (1)

1 LMAP - Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau]

Let ${\cal S}_{n,k}$ denote the family of Steiner's bundle $S$ on ${\bf P}_n$ defined by the exact sequence (k > 0) $$0\rightarrow kO_{{\bf P}_n}(-1) \longrightarrow (n+k)O_{{\bf P}_n}\longrightarrow S \rightarrow 0 $$ We show the following result : Let $S \in {\cal S}_{n,k}$ and $H_1 ,\ldots , H_{n+k+2}$ distinct hyperplanes such that $h^0(S^{\vee}_{H_i}) \neq 0$. Then it exists a rational normal curve $C_n\subset {\bf P}_{n}^{\vee}$ such that $H_{i}\in C_n$ for $i = 1, \ldots , n + k + 2$ and $S\simeq E_{n+k-1}(C_n)$, where $E_{n+k−1}(C n)$ is the Schwarzenberger's bundle on ${\bf P}_n}$ which belongs to ${\cal S}_{n,k}$ associated to $C_n\subset {\bf P}_{n}^{\vee}$. It implies that a Steiner's bundle $S\in {\cal S}_{n,k}$, if it isn't a Schwarzenberger's bundle, possesses no more than (n + k + 1) unstable hyperplanes; this proves in any case a result of Dolgachev and Kapranov ([DK], thm 7.2) about logarithmic bundles.

Soit ${\cal S}_{n,k}$ la famille des fibrés de Steiner $S$ sur ${\bf P}_n$ définis par une suite exacte ($k>0$) $$ 0\rightarrow kO_{{\bf P}_n}(-1) \longrightarrow (n+k)O_{{\bf P}_n}\longrightarrow S \rightarrow 0 $$ Nous montrons le résultat suivant : {\it Soient $S\in {\cal S}_{n,k}$ et $H_1,\ldots,H_{n+k+2}$ des hyperplans distincts tels que $h^0(S^{\vee}_{H_i}) \neq 0$. Alors il existe une courbe rationnelle normale C_n\subset {\bf P}_{n}^{\vee}$ telle que $H_{i}\in C_n$ pour $i=1, ..., n+k+2$ et $S\simeq E_{n+k-1}(C_n)$, o\`u $E_{n+k-1}(C_n)$ est le fibré de Schwarzenberger sur ${\bf P}_n$ appartenant à ${\cal S}_{n,k}$ associé à la courbe $C_n\subset {\bf P}_{n}^{\vee}$. } On en déduit qu'un fibré de Steiner $S\in {\cal S}_{n,k}$, s'il n'est pas un fibré de Schwarzenberger, possède au plus $(n+k+1)$ hyperplans instables; ceci prouve dans tous les cas un résultat de Dolgachev et Kapranov ([DK], thm. 7.2) concernant les fibrés logarithmiques

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Jean Vallès. Nombre maximal d'hyperplans instables pour un fibré de Steiner. Mathematische Zeitschrift, 2000. ⟨hal-01991069⟩