Fibrés de Schwarzenberger et coniques de droites sauteuses

Jean Vallès (1)

1 LMAP - Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications [Pau]

To a stable vector bundle $E$ of rank $2$ on the complex projective plane $\mathbb{P}^2$ Barth associates its scheme $S(E)$ of jumping lines in $\mathbb{P}^{2\vee}$. When the first Chern class of $E$ is even $S(E)$ is a curve. In [LP1] Le Potier asks which bundles are characterized by their curve of jumping lines. In this paper we prove that if $E$ is a Schwarzenberger's bundle [Sch1] with even first Chern class then $S(E)$ determine $E$; in this case $S(E)$ is of the form $nC$ where $C$ is a smooth conic of $\mathbb{P}^{2\vee}$. We also give a precise study of the zero-scheme of a section of a Schwarzenberger's bundle. This study gives a simplification of the well known Poncelet's curve theory.

À un fibré vectoriel $E$ stable de rang deux sur le plan projectif complexe $\mathbb{P}^2$ on associe son schéma des droites de saut $S(E)$ dans $\mathbb{P}^{2\vee}$ [Ba1]. Quand le déterminant de $E$ est pair $S(E)$ est une courbe. Dans [LP1] Le Potier demande quels sont les fibrés caractérisés par leurs courbes de saut. Dans cet article nous montrons que si $E$ est un fibré de Schwarzenberger de déterminant pair alors $S(E)$ détermine $E$; dans ce cas $S(E)$ est de la forme $nC$ où $C$ est une conique lisse de $\mathbb{P}^{2\vee}$. Nous donnons aussi une étude fine de la variété des zéros d'une section d'un fibré de Schwarzenberger. Cette étude permet d'ordonner et de simplifier la théorie bien connue des courbes de Poncelet.

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Jean Vallès. Fibrés de Schwarzenberger et coniques de droites sauteuses. Bulletin de la société mathématique de France, 2000. ⟨hal-01991018⟩